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教育动态
“数学教师的素养”对话录
 更新时间:2018-04-09  点击数:190

孔:很多中小学教师谈起统计关系时,心里总是发虚。作为统计学的专家,你是如何看待统计关系的?

    史:一般人认为,统计是这样的——它假定了一个模型:做一个实验只有两个结果,成功或失败。用O表示成功,用1表示失败,成功的概率是p,失败的概率是1-p。

    其实,这个模型表示的是概率,统计在这里什么也没有。要说明统计,你必须调查研究,必须得到数据。对于上面的模型,你可以进行调查,在n次的实验,成功了m次,那么,成功的频率是    ,结果表明,随着数据的丰富和积累(如n逐渐变大), ≈p是,可以用频率估计概率p。

    所以,统计是建立在数据基础之上的,理解统计必须让学生亲身经历数据的收集、整理和决策的过程。

    孔:统计与概率、函数有什么区别?

    史:事实上,函数、统计、概率三者的差异是非常明显的,例如:小学1~3年级的同学都喜欢周星驰,4~6年级的同学都喜欢成龙。这是函数关系。

    小学1~6年级的同学中,三分之一的同学喜欢周星驰,三分之二的同学喜欢成龙。这是概率关系。

    而调查显示,小学l一6年级的同学中,三分之一的同学喜欢周星驰,三分之二的同学喜欢成龙。这是统计关系。

    如果喜欢周星驰的,用值0表示;喜欢成龙的,用值1表示,那么以上三种情况可以分别用数学式子表示为:

(1)x∈{l,2,3,4,5,6,},y∈{0,1},

    (2) ε∈服从分布

    (3)调查数据显示,P{y=0}= ,而P{y=l}= 。

    总之,函数关系表达的是一种确定关系,概率关系表达的是不确定关系中的理想状态(即应然状态),而统计关系表达的是不确定关系中的实然状态。

    孔:分数曾引起世界数学界、教育界的讨论,直到现在,中国同行还在讥笑“美国中小学教师认为是合理的”。你是如何看待这类问题的?

    史:这实际上涉及如何理解分数的含义的问题。就整个中小学数学来说,分数主要有两个作用:一个是作为有理数出现的一种数,也就是,作为在运算中出现的一种数,它能和其他的数一样参与运算;另一个作用是以比例的形式出现的。而后者是小学分数教学的要点。因此,最重要的分数应该是真分数,它代表一个事物的一部分,其本质在于它的无量纲性。比如,盘子大小的代表的实际意义,与足球场大小的代表的实际意义是不尽相同的,但是在讨论分数时又是等价的。

    但是,对于“等价”的使用,一定要慎重,特别是对于与“记数”有关的事物。

    孔:分数有时也表示成百分数,=者是等价的,但有区别,如何理解这个区别?

    史:以 为例,在通常情况下 =50%,二者是等价的,但是,二者的意义并非完全相同,很多情况下并非真正“等价”。例如,投篮球,连续投30次,投中15次,与投两次,只投中一次,前后两次的命中率虽然都是50%,但是给人的直观感觉是不一样的。前者的命中率显得更稳定一些,而后者可能是偶然的。

 孔:我们注意到,分数线有比的含义,你如何看待这里的比与数学上的“:”以及现实生活中的比的区别?

    史: 虽然等于1:2,但二者的意义有所不同,不宜混为一谈。在小学数学中,对于以比例形式出现的分数,在计算加法时更要十分慎重,有时候加法后的

  结果可能与原意不符。比如,甲乙两个队踢足球,第一场2:3,  第二场1:2,如何描述总的比赛结果呢?如果用分数的加法,结果为,这显然是不合常理的。

在现实生活中,对于处理分数的加法,有时候需要分子加分子、分母加分母。对于这个例子,还是比较合理的。

    这是因为,在小学数学教学中,分数的加法遵循有理数加法法则。下面的例子更为明显:

    在某种药物的临床试验中,试验人员对一批患者进行了疗效跟踪调查。其中,男性患者50名,有疗效的23人;女性患者50人,有疗效的27人。此时,男性的有效率为46%,女性的有效率为=54%。现在需要描述总体疗效,总的有效率只能是 。

    在中小学数学统计教学中,可能会涉及到上面的类似问题。作为中小学数学教师,不仅需要了解数的运算,还需要与实际生活联系起来,了解数的本质和运算的意义。在此基础上,合理地组织教学是必要的。特别是,当学生提出类似问题时,教师应当思考其中是否有合理的成分,是否有生活的背景,而不是一味地否定学生的“怪想法”。

    孔:2007年12月,我去日本京都大学讲学,对于,日本同行非常迷茫。对此,我是这样分析的:表示第一个小组中的个体1(男性人数)占总体2的比例,而表示第二个小组中的个体1(男性人数)占总体3的比例,现在将两个小组合并组成一个新的总体,此时,表示的是男性人数占新总体的比例,第一个小组在新总体中占有的份额,第二个小组在新总体中占有的份额,因而,了。正是因为两个小组在新总体中所占的比倒不同,因而,不能采取分子加分子、分母加分母的计算方法。

    史:这种理解是正确的。这里的、 就是权重,只有当总体中各部分所占的权重相同时,采取分子加分子、分母加分母的计算方法,其结果才能与有理数加法的结果相同。

    孔:分数的无量纲性是国内外首次出现的新观点,你能否进一步说明它的重要性?

    史:分数无量纲性的意义在于,能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。这一点,有时候对于数学活动特别是数学建模来说,也是有意义的。比如,一个小国和一个大国,其老百姓的生活质量和富有程度,在很多情况下并不是可比的。但是,一旦转换成人均GDP指数,或者得到恩格尔系数,就可以进行相互比较了。

    总之,在理解分数时,不能只考虑它是有理数,还要考虑到它是一种无量纲的数。从分数的无量纲性,我们可以更清楚地把握小学分数教与学的核心要点,以

及分数课程教学设计的侧重点。

    作为中小学数学教师,要学会感悟、反思和体验已有的数学教学内容的本质,尤其是找到并真正感悟中小学数学课程教学中的那些核心内容,及时地反思自己的数学教学工作,自觉体验和不断完善自己对教育的理解,并与他人及时地进行沟通、交流。只有这样,才能不断加速自己的专业化进程。

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